Lead: O número 142857 atrai interesse de matemáticos, divulgadores e até ocultistas por suas propriedades aritméticas incomuns: ao ser multiplicado por 1 a 6, seus dígitos apenas se rotacionam; multiplicado por 7 resulta em 999999; e ele corresponde ao período decimal de 1/7.
Quem descobriu ou popularizou a curiosidade não é um único autor: figuras como Martin Gardner e a calculadora humana indiana Shakuntala Devi ajudaram a tornar o tema popular na matemática recreativa. O número também entrou na cultura pop: aparece no romance Ratner’s Star (A Estrela de Ratner), de 1976, do escritor americano Don DeLillo. Entre os admiradores do número há ainda ocultistas, como Willis F. Whitehead, que definiu 142857 como “a expressão numérica da vida, da luz e do amor”.
O que o torna especial
Ao multiplicar 142857 pelos inteiros de 1 a 6, os resultados são rotações circulares dos mesmos seis dígitos:
142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142
Essa característica define 142857 como um número cíclico: um número de n dígitos que, quando multiplicado por qualquer inteiro de 1 a n, produz uma rotação circular dos seus próprios dígitos.
A relação com o 7 e o período decimal
Multiplicar 142857 por 7 resulta em 999999. Esse resultado está ligado ao fato de que 142857 é o período decimal da fração 1/7. De fato:
1 ÷ 7 = 0,142857142857142857…
As sequências geradas por 2/7, 3/7, 4/7, 5/7 e 6/7 reaparecem como rotações desse bloco de seis dígitos, e 7/7 = 1 fecha o ciclo — o que explica o aparecimento de 999999 (equivalente a 0,999999…). Um exemplo prático citado é 365 ÷ 7 = 52,142857, que relaciona o ciclo ao avanço de dias da semana em anos não bissextos.
Brincadeiras, truques e outras peculiaridades
O número é usado em truques de mágica e demonstrações com calculadora. Um deles pede que alguém digite 10101, multiplique por qualquer número entre 1 e 6, divida por 7 e multiplique por 99 — o produto exibirá os dígitos 1, 2, 4, 5, 7 e 8.
Também há curiosidades com somas de partes do número: 14 + 28 + 57 = 99; 142 + 857 = 999; 1428 + 5714 + 2857 = 9999. A soma dos dígitos (1+4+2+8+5+7) é 27, cujo dígito soma também leva a 9.
Se um 9 for inserido no centro — formando 142 9 857 — e multiplicarmos por qualquer número de 1 a 6, o resultado mantém um 9 central e preserva a natureza cíclica.
O que ocorre além do 7
Multiplicar por números acima de 7 pode quebrar a forma rígida, mas há padrões que retornam ao número original por operações suplementares: por exemplo, 142857 × 8 = 1142856; separando o primeiro dígito e somando ao restante, 1 + 142856 = 142857. Procedimentos semelhantes valem para multiplicadores como 9, 10, 11 e por múltiplos de 7 maiores, levando frequentemente a blocos de noves.
Exemplos com multiplicações maiores também retornam ao padrão quando se agrupam dígitos de seis em seis a partir da direita:
142857 × 142857 = 20408122449 → 122449 + 20408 = 142857
142857 × 6.430.514.712.336 = 918.644.040.260.183.952 → 183952 + 040260 + 918644 = 1.142.856 → 1 + 142856 = 142857
Outros números cíclicos e propriedades
142857 não é único: o próximo número cíclico mais conhecido vem de 1/17 e é 0588235294117647, com 16 dígitos que se comportam de forma análoga e cuja multiplicação por 17 produz 16 noves. Em geral, um número cíclico tem quantidade de dígitos igual a um a menos que o número primo gerador.
Entre os números menores que 100 que geram números cíclicos estão os primos 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 e 97. Nem todo primo gera um número cíclico, mas todo número cíclico se origina de um primo cujo período decimal de 1/p tem exatamente p−1 dígitos.
Aplicações
Até agora, números cíclicos como 142857 não têm usos diretos praticáveis na engenharia, finanças ou ciência aplicada, mas já contribuíram para o desenvolvimento de áreas teóricas, como teoria dos números, criptografia teórica e teoria da codificação.
Para mais detalhes, consulte a matéria original no G1:
